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Álgebra Linear

É uma extensão da álgebra elementar clássica, que significa operações básicas com números e variáveis para vetores e matrizes, tipo de operações com conjuntos de números. É uma ferramenta básica de matemática avançada e ciência da computação, e ao menos deve ser conhecida por todo programador. Por que se chama álgebra linear? Porque está relacionada ao conceito de linearidade, que tem a ver com lidar com linhas retas, os resultados que obtemos na álgebra linear são equivalentes mais abstratos de linhas retas, planos e hiperplanos, embora isso possa ser difícil ver devido a toda a abstração e maior dimensionalidade.

Noções básicas

Na álgebra, nossos elementos básicos são números, aprendemos a somar, multiplicar, resolver equações com eles. Na linear, chamamos esses números únicos de escalares, como 1, -10,5 ou pi e também adicionamos elementos mais complexos, vetores e matrizes, com os quais podemos realizar operações semelhantes, embora às vezes se comportem de forma um pouco diferente, a ordem na multiplicação de matrizes importa, ao contrário dos escalares. Vetores são, de forma simplificada e ligeiramente incorreta, sequências, matrizes, de número, um vetor de comprimento 3 pode ser [1,5, 0, -302]. Uma matriz pode ser vista de forma semelhante como uma matriz de números bidimensional, uma matriz 2x3 pode se parecer com isso:

|1 2,5 -10|
|24 -3  0 |

Podemos ver vetores como matrizes que têm apenas uma coluna, os chamados vetores de coluna, ou apenas uma linha, os chamados vetores de linha, é apenas uma questão de convenção qual tipo de vetores escolhemos usar, isso afeta de qual lado multiplicaremos vetores por matrizes. Escolhemos que tipo de vetores usaremos e então continuamos usando apenas esse tipo. Como, um vetor de linha:

| 5 7.3 -2 |

É realmente uma matriz 1x3 que, como um vetor de coluna (matriz 3x1), pareceria:

|5 |
|7.3|
|-2|

Por que trabalhamos com vetores e matrizes? Porque eles podem representar certas coisas que encontramos em matemática e programação melhor do que números, por exemplo, vetores podem representar pontos no espaço ou velocidades com direções e matrizes podem representar transformações como rotações, isso não é óbvio, mas é verdade. Com vetores e matrizes, podemos realizar operações semelhantes às dos números normais, adição, subtração, multiplicação, mas também há novas operações e algumas operações podem se comportar de forma diferente. Ao lidar com vetores, há várias maneiras de multiplicá-los, podemos multiplicar um vetor por um escalar ou um vetor por um vetor, e há várias maneiras de fazer isso, como o produto escalar, que resulta em um escalar, e o produto vetorial, que resulta em um vetor. A multiplicação de matrizes é, diferentemente da multiplicação de números reais, não comutativa, A vezes B não é necessariamente igual a B vezes A, mas ainda é distributiva. Podemos multiplicar vetores com matrizes, mas apenas aqueles que têm tamanhos compatíveis. E também podemos resolver equações e sistemas de equações que têm vetores e matrizes neles. Há uma matriz especialmente importante chamada matriz identidade ou unitária, denotada I, uma matriz NxN pela qual, se multiplicarmos qualquer matriz, obtemos a mesma matriz. A matriz identidade tem 1s na diagonal principal e 0s em outros lugares. Uma matriz identidade 3x3 parece com:

|1 0 0|
|0 1 0|
|0 0 1|

Vamos ver alguns detalhes das operações básicas com vetores e matrizes:

Adição, subtração de matriz ou vetor, podemos adicionar vetores e matrizes somente se eles tiverem exatamente o mesmo. Realizamos a operação de forma muito simples elemento a elemento. Adicionar o vetor [1 0 -2] ao vetor [3 1.1 3] resulta no vetor [4 1.1 1].
Multiplicação de matriz ou vetor por escalar, simplesmente multiplicamos cada elemento do vetor e matriz pelo escalar: [2 0 -3] * 7 = [14 0 -21].
Multiplicação de matriz ou vetor, podemos multiplicar a matriz A pela B somente se A tiver o número de colunas igual ao número de linhas de B. Podemos multiplicar uma matriz 2x3 por uma 3x5, mas não uma matriz 2x4 por 2x4. Note que, diferentemente dos números reais, a ordem na multiplicação de matrizes importa, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB geralmente não é igual a BA. Multiplicar uma matriz MxN por uma matriz NxO resulta em uma matriz MxO, como uma matriz 2x3 vezes 3x4 resulta em uma matriz 2x4, na qual cada elemento é um produto escalar da linha correspondente da primeira matriz com a coluna correspondente da segunda matriz.
Divisão de matriz ou vetor, o termo divisão de matriz não é realmente usado, mas podemos atingir o princípio da divisão pela multiplicação por matrizes inversas, similarmente a como a divisão em números reais é realmente uma multiplicação pelo recíproco de um número.
Transposição de matriz ou vetor, a transposição de uma matriz A é denotada como A^T. É a matriz A invertida por sua diagonal principal, superior esquerda para inferior direita, a transposição de uma matriz NxM é uma matriz MxN. Transpor transforma vetores de coluna em vetores de linha e vice-versa.
Matriz inversa de uma matriz NxN A é denotada como A^-1 e é uma matriz tal que se multiplicarmos A por ela obtemos a matriz identidade. A matriz inversa é semelhante a um valor recíproco no mundo dos números reais. Observe que matrizes não quadradas não têm inversas e mesmo algumas matrizes quadradas não têm inversas. Como inverter uma matriz? Um método geral é simplesmente resolver a equação que a define.
Matriz determinante, o determinante de uma matriz é um escalar computado de uma maneira específica a partir da matriz que reflete algumas das propriedades da matriz, como sua invertibilidade. Ele aparece em muitas equações, então é bom saber sobre.

Multiplicação de matrizes é uma operação importante, então vamos ver um exemplo. Vamos ter uma matriz 2x3 A:

    |1 2 3|
A = |4 5 6|

e uma matriz 3x4 B:

    |7  8  9  10|
B = |11 12 13 14|
    |15 16 17 18|

O resultado, AB, será uma matriz 2x4 na qual o elemento superior esquerdo é igual a 1 * 7 + 2 * 11 + 3 * 15 = 74, o produto escalar da linha 1 2 3 com a coluna 7 11 15. Geralmente desenhamos as matrizes convenientemente da seguinte forma:

                                |7   8   9   10 |
                                |11  12  13  14 |
                                |15  16  17  18 |
        |7  8  9  10|
|1 2 3| |11 12 13 14| = |1 2 3| |74  80  86  92 |
|4 5 6| |15 16 17 18|   |4 5 6| |173 188 203 218|

Caso ainda não esteja claro, aqui está um código C da multiplicação de matrizes mostrada acima:

#include <stdio.h>

int main() {
  int A[2][3] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}};
  int B[3][4] = {{7,  8,  9,  10}, {11, 12, 13, 14}, {15, 16, 17, 18}};
  int sum;

  for (int row = 0; row < 2; ++row) {
    for (int col = 0; col < 4; ++col) {
      sum = 0;
      for (int i = 0; i < 3; ++i)
        sum += A[row][i] * B[i][col];
      printf("%d ", sum);
    }
    putchar('\n');
  }

  return 0;
}

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