Em matemática, especificamente teoria dos conjuntos, é um possível axioma que basicamente afirma que podemos escolher arbitrariamente elementos de conjuntos e que é famoso por ser controverso e problemático porque causa problemas quando o aceitamos ou rejeitamos. Agora ele foi realmente incluído no ZFC, um tipo de base comumente usada para matemática, mas sua natureza controversa permanece. Observe que este tópico pode ir a uma grande profundidade e levar a debates filosóficos, há uma enorme toca de coelho e os matemáticos podem falar sobre isso por horas, aqui declararemos as coisas mais básicas e bastante simplificadas, principalmente para aqueles que não são matemáticos profissionais, mas precisam de alguma visão geral da matemática, como programadores.
O que realmente é o axioma da escolha? É um axioma, algo que não podemos provar, mas podemos aceitar ou rejeitar como um fato básico para que possamos usá-lo para provar coisas. Ele diz que, dada qualquer coleção de conjuntos, mesmo uma coleção infinita de conjuntos infinitamente grande, podemos fazer uma seleção arbitrária de um elemento de cada conjunto. Mais matematicamente, ele diz, se temos uma coleção de conjuntos, sempre existe uma função f tal que para qualquer conjunto S da coleção f(S) é um elemento de S. Isso não parece estranho, não é? Bem, em muitas situações normais não é. Se temos conjuntos finitos, podemos simplesmente escrever cada elemento do conjunto, não precisamos definir nenhuma função de seleção, então não precisamos do axioma da escolha para fazer nossa escolha de elementos aqui. Mas também se temos infinitos conjuntos que são bem ordenados, podemos comparar elementos, como conjuntos infinitos de números naturais e simplesmente definir uma função que pega o menor número de cada conjunto, aqui também não precisamos do axioma da escolha. Os problemas começam se tivermos infinitamente muitos conjuntos de números reais, que não podem ser bem ordenados sem o axioma da escolha, considere que intervalos abertos não têm o menor número, aqui não podemos dizer como uma função deve selecionar um elemento de cada conjunto, então temos que aceitar o axioma da escolha, dizemos que isso simplesmente pode ser feito de alguma forma, como escrevendo cada elemento em um papel infinitamente grande, ou rejeitá-lo. Aqui é novamente o caso de que o que normalmente não é problemático começa a ficar muito estranho quando você envolve o infinito.
Por que é problemático? Depois que você aprende sobre o axioma da escolha, sua primeira pergunta provavelmente será por que isso deveria representar problemas se parece apenas um fato óbvio. Acontece que isso leva a coisas estranhas. Se aceitarmos o axioma da escolha, algumas coisas estranhas acontecem, como o paradoxo de Banach-Tarski que usa o axioma da escolha para provar que você pode desmontar uma esfera em um número finito de pedaços, então movê-los e girá-los para que eles criem duas novas esferas, cada uma idêntica à original, você duplica a esfera original. Se rejeitarmos o axioma da escolha, outras coisas estranhas acontecem, não podemos provar que todo espaço vetorial tem uma base, parece bastante elementar que todo espaço vetorial deva ter uma base, mas isso não pode ser provado sem o axioma da escolha e aceitar isso implica que o axioma da escolha é verdadeiro. Muitas provas simplesmente não funcionam sem o axioma da escolha. Então de qualquer forma, as coisas ficam estranhas, quer aceitemos o axioma da escolha ou não. Então, o que matemáticos fazem? Como eles lidam com isso e por que eles não se matam? Na realidade a maioria deles é bem tranquilo e não se importa muito, eles tentam evitar isso se podem, a prova deles é meio mais forte se depender de menos axiomas, mas eles aceitam se realmente precisam para uma prova específica. Muitas coisas elementares na matemática realmente dependem do axioma da escolha, então não há problema quando alguém o usa, é muito normal. Acontece que o axioma da escolha é mais algo que eles discutem tomando uma cerveja, eles geralmente discordam sobre se é intuitivamente verdadeiro ou falso, mas isso não afeta o trabalho deles.
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